基于子空间的高光谱图像变化检测方法
准确及时地检测地表特征的变化对于环境监测和资源管理至关重要。相较于传统的单波段或多光谱遥感影像，高光谱影像由于包含大量光谱信息，在变化检测中表现出更优异的性能。本文将介绍一种基于子空间的变化检测(SCD)方法，该方法适用于高光谱图像。
子空间分析在高光谱图像中的应用
子空间学习是高光谱影像分析中的一种有效工具。其优势在于能准确描述线性混合信号，并具有更好的信号可分离性。正交子空间投影(OSP)是一种成功的高光谱影像分析方法，广泛应用于各种应用场景。
高光谱图像中的混合像元可以用以下线性模型描述：
\[ \mathbf{r} = \alpha\mathbf{s} + \sum_{i=1}^{p}\beta_i\mathbf{v}_i + \mathbf{n} \] 其中\(\mathbf{r}\)是混合像元的光谱特征，\(\mathbf{s}\)是目标光谱特征，\(\mathbf{V} = \begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_p\end{bmatrix}\)是非目标光谱特征矩阵，\(\alpha\)和\(\beta_i\)是对应光谱特征的分量，\(\mathbf{n}\)是随机噪声向量。
OSP算子可以写作： \[ \mathbf{P}_{\mathbf{V}^{\perp}} = \mathbf{I} - \mathbf{V}(\mathbf{V}^T\mathbf{V})^{-1}\mathbf{V}^T \] 其中\(\mathbf{P}_{\mathbf{V}^{\perp}}\)是将特征向量投影到\(\mathbf{V}\)的正交补子空间的正交补投影算子。如果我们预先知道所有不同材料的光谱特征，OSP可以抑制非目标光谱特征，并评估目标光谱特征的存在与否。 ## 基于子空间的变化检测(SCD)
在变化检测过程中，我们将时刻2的观测像素视为潜在的变化目标，使用时刻1对应像素的光谱特征和额外的光谱/空间信息构建背景子空间。我们需要测量目标与背景之间的差异，以确定是否存在真实的变化目标。子空间距离用于测量光谱变化。
如果观测像素在时间间隔内未发生变化，则目标光谱将几乎位于背景子空间内，因为背景子空间是由未发生变化的对应像素构建的，其具有与观测像素相似的光谱特征。因此，发生变化的像素将与背景子空间呈现相对较大的子空间距离，而未发生变化的像素则接近于零。
设\(\mathcal{U}\)为欧几里得空间，可以表示为子空间\(\mathcal{S}\)与其补空间\(\mathcal{S}^{\perp}\)的直接和，即\(\mathcal{U} = \mathcal{S} \oplus \mathcal{S}^{\perp}\)。对于任意向量\(\mathbf{x} \in \mathcal{U}\)，我们有\(\mathbf{x} = \mathbf{x}_{\mathcal{S}} + \mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}}\)，其中\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}} \in \mathcal{S}\)且\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}} \in \mathcal{S}^{\perp}\)。如果每个向量\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}}\)都与\(\mathcal{S}\)正交，则\(\mathcal{S}^{\perp}\)被称为\(\mathcal{S}\)的正交补子空间。
将向量\(\mathbf{x}\)投影到子空间\(\mathcal{S}\)的投影算子为： \[ \mathbf{P}_{\mathcal{S}} = \mathbf{B}(\mathbf{B}^T\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^T \] 其中\(\mathbf{B} = \begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_p\end{bmatrix}\)是\(\mathcal{S}\)的基向量组成的矩阵。
已知\(\mathbf{x}\)到\(\mathcal{S}\)的子空间距离等于\(\mathbf{x}\)在\(\mathcal{S}^{\perp}\)上的投影向量的范数。利用上述投影算子，我们可以得到\(\mathbf{x}\)在\(\mathcal{S}^{\perp}\)上的投影向量： \[ \mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}} = (\mathbf{I} - \mathbf{P}_{\mathcal{S}})\mathbf{x} = (\mathbf{I} - \mathbf{B}(\mathbf{B}^T\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^T)\mathbf{x} \]
子空间距离即为\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}}\)的范数： \[ d(\mathbf{x}, \mathcal{S}) = \Vert\mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}}\Vert \] 为了简化计算，我们定义\(\mathbf{y} = (\mathbf{B}^T\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{x}\)，其中\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}} = \mathbf{B}\mathbf{y}\)且\(\mathbf{x}_{\mathcal{S}^{\perp}} = \mathbf{x} - \mathbf{B}\mathbf{y}\)。则简化后的算子等价于原算子： \[ d(\mathbf{x}, \mathcal{S}) = \Vert\mathbf{x} - \mathbf{B}\mathbf{y}\Vert \]
为了消除光谱幅值对子空间距离的影响，我们对光谱向量进行归一化处理。最终，SCD算子可以表示为： \[ \text{SCD}(\mathbf{x}) = \frac{\Vert\mathbf{x} - \mathbf{P}_{\mathbf{B}}\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert} \]
其中\(\mathbf{B}\)是由时间1对应像素的光谱特征和额外信息构成的背景子空间。这个算子计算了时间2单位光谱向量到背景子空间的子空间距离，用于测量时间间隔内的光谱变化。
背景子空间构造
背景子空间由对应像素的光谱特征和额外信息构成。像素对是检测光谱变化的基本单元，而额外信息则是针对特殊应用的可选项。这里给出了三种背景子空间构造方法：
- 基于光谱信息的构造
将非目标的地物类型的光谱特征加入背景子空间，以抑制不需要的变化。背景子空间\(\mathcal{A}\)可以表示为：\[\mathcal{A} = \text{span}\{\mathbf{r}_c, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_p\}\] 其中\(\mathbf{r}_c\)是对应像素的光谱特征，\(\mathbf{v}_i\)是目标类别的光谱特征。
- 基于空间信息的构造
利用空间信息可以减少误配准造成的错误检测。我们提出了两种利用空间信息的方法： - 局部SCD(LSCD)：以对应像素为中心构造一个子窗口，使用该窗口内所有像素构建背景子空间： \[ \mathcal{A} = \text{span}\{\mathcal{W}\} \] 其中\(\mathcal{W}\)是子窗口内所有像素组成的数据集。
自适应SCD(ASCD)：对每个像素\(\mathbf{r}\)，在以其对应像素为中心的子窗口内选择与\(\mathbf{r}\)具有最小SCD值的像素，构建背景子空间： \[ \text{ASCD}(\mathbf{r}) = \min_{\mathbf{r}_c \in \mathcal{W}}\frac{\Vert\mathbf{r} - \mathbf{P}_{\{\mathbf{r}_c\}^{\perp}}\mathbf{r}\Vert}{\Vert\mathbf{r}\Vert} \] 通过利用空间信息，SCD可以减少由于误配准造成的错误检测。当存在误配准时，真实的对应像素包含在子窗口内，因此仍能够测量正确的光谱变化。
子窗口的大小与误配准程度有关。通常，子窗口应足够大以覆盖误配准的幅度，但过大的窗口会增加计算量并可能遗漏真实变化。除了方形窗口，我们还可以考虑其他形状，如圆形或不对称形状。
光谱信息和空间信息都是SCD的额外信息。在使用空间信息改进SCD时，我们还可以同时加入光谱信息以抑制不需要的变化。SCD的背景子空间构造方式灵活，可以探索其他额外信息，如更多类型的光谱特征，进而改进算法以适应不同的应用场景。
总结
总的来说，SCD算法通过子空间学习过程直接测量了光谱特征的变化，充分利用了高光谱影像丰富的光谱信息，相比于传统的每个波段差值法具有更好的检测性能。SCD的背景子空间构造方式灵活多样，可以针对不同应用场景进行改进和优化。