基于耦合非负矩阵分解的高光谱图像超分辨率算法
问题定义
高光谱成像能同时在多个不同波长获取同一场景的图像,在农业、天文、监视和矿物学等领域具有广泛应用。然而,由于各种硬件限制,获得高分辨率(HR)高光谱图像仍然是一个挑战。下面将介绍如何利用低分辨率(LR)高光谱图像和同一场景的高分辨率(HR)多光谱或RGB图像,来重建HR高光谱图像。
给定一对观测图像:LR高光谱图像 \(X \in \mathbb{R}^{L \times n}\) 和HR多光谱图像 \(Y \in \mathbb{R}^{3 \times N}\),目标是重建HR高光谱图像 \(Z \in \mathbb{R}^{L \times N}\),其中 \(N=W \times H, n=w \times h (w \ll W, h \ll H)\) 分别表示HR图像和LR图像的像素数量, \(L \gg 3\) 是波段数量。两个观测图像可表示为期望HR图像的线性组合:
\[X = ZH, \quad Y = PZ\]
其中 \(H \in \mathbb{R}^{N \times n}\) 是关于LR图像 \(X\) 的退化算子(模糊和下采样), \(P\) 是将HR高光谱图像 \(Z\) 映射到RGB表示 \(Y\) 的变换矩阵。由于方程数量远小于未知变量数,估计 \(Z\) 是一个病态反问题,需要利用先验知识进行正则化。
基于稀疏表示的方法
非负字典学习
利用高光谱图像的稀疏先验,每个像素 \(z_i \in \mathbb{R}^L\) 可表示为字典 \(D \in \mathbb{R}^{L \times K}\) 的稀疏线性组合:
\[z_i = D\alpha_i + e_i, \quad \text{s.t. } \|\alpha_i\|_0 < T\]
其中 \(\alpha_i \in \mathbb{R}^K\) 是稀疏系数向量, \(e_i\) 是近似误差。字典 \(D\) 的每一列对应场景中材质的反射光谱。根据线性混合模型,LR高光谱图像 \(X\) 可表示为:
\[x_i = D\beta_i + v_i, \quad \beta_i = \sum_{j \in W_i} h_j\alpha_j\]
其中 \(W_i\) 是以 \(i\) 为中心的窗口, \(h_j\) 是加权系数。在每个位置 \(x_i\),仅有少数物质成分,因此 \(\beta_i\) 是稀疏向量。为同时估计字典 \(D\) 和稀疏码 \(B=[\beta_1,...,\beta_n]\),我们最小化以下目标函数:
\[(D, B) = \arg\min_{D,B} \frac{1}{2}\|X - DB\|_F^2 + \lambda\|B\|_1, \quad \text{s.t. } \beta_i \geq 0, d_k \geq 0\]
通过高效的块坐标下降算法进行优化,每次更新字典 \(D\) 的一个原子,从而提高计算效率。
基于聚类的结构化稀疏编码
在估计出字典 \(D\) 后,可以从HR多光谱图像 \(Y\) 和LR高光谱图像 \(X\) 联合估计目标HR高光谱图像 \(Z\) 的稀疏码 \(A=[\alpha_1,...,\alpha_N]\):
\[\begin{aligned} &Y = \tilde{D}A + W_1, \quad \tilde{D}=PD \\ &X = DAH + W_2 \end{aligned}\]
最小化加权重构误差和 \(\ell_1\) 范数稀疏约束:
\[A = \arg\min_A \|Y - \tilde{D}A\|_F^2 + \|X - DAH\|_F^2 + \eta\|A\|_1, \quad \text{s.t. } \alpha_i \geq 0\]
为利用高光谱图像中像素的空间相关性,利用基于聚类的结构化稀疏表示(NSSR)模型:
\[\begin{aligned} A = \arg\min_A &\|Y - \tilde{D}A\|_F^2 + \|X - DAH\|_F^2\\ &+ \eta_1\sum_{q=1}^Q \sum_{i \in S_q} \|D\alpha_i - \mu_q\|_2^2 + \eta_2\|A\|_1,\quad \text{s.t. } \alpha_i \geq 0 \end{aligned}\]
其中 \(\mu_q\) 是第 \(q\) 个聚类的中心,通过递归方式进行更新。 \(S_q\) 是第 \(q\) 个聚类的样本集,通过在HR多光谱图像上进行 \(k\)-近邻搜索获得。此模型不仅利用了稀疏先验,还利用了重构像素应当接近聚类中心的结构先验。通过交替方向乘子算法(ADMM)高效求解上述优化问题。
总之,该方法在利用LR高光谱图像估计字典的同时,充分利用了HR多光谱图像的信息,并结合了稀疏和结构两种先验。